Une «preuve sans mots» est une illustration qui rend évidente une assertion.

Preuve sans mots no. 5:



Soit $n$ un entier naturel. La somme des carrés des entiers de $0$ à $n$ vaut $n(n+1)(2n+1)/6$.


Précédentes preuves sans mots :


Preuve sans mots no. 4:



Soit $n$ un entier naturel. La somme des entiers de $0$ à $n$ vaut $n(n+1)/2$.


Preuve sans mots no. 3:



Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. Alors les moyennes quadratique, arithmétique, géométrique et harmonique vérifient les inégalités $Q\geq A\geq G\geq H$, autrement dit: \[ \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \quad \geq \quad \frac{x+y}{2} \quad \geq \quad \sqrt{xy} \quad \geq \quad \frac{2}{\frac1x + \frac 1y}. \]

Commentaires:

Ces différentes moyennes existent aussi pour plus de deux variables, et les inégalités sont conservées. Par exemple, pour trois variables, on a \[ \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} \geq \frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \geq \frac{3}{\frac1x + \frac 1y+\frac1z}. \]

La moyenne arithmétique est la plus connue mais elle ne convient pas forcément à toutes les situations. Lorsqu'on a plusieurs quantités, « former la moyenne » est une procédure qui devrait tenir compte de la nature des quantités.

Exemple : un produit subit une hausse de prix de $20\%$, puis de $40\%$ l'année suivante et enfin de $60\%$ l'année d'après. En moyenne, de combien le prix augmente-t-il chaque année ?
Interprétation : on cherche un pourcentage $p$ tel que trois augmentation successives de ce même pourcentage $p$ soient équivalentes aux trois augmentation successives de l'énoncé. L'augmentation moyenne est alors la moyenne géométriques des augmentations annuelles. En faisant le calcul, on trouve environ $39\%$ (et pas $40$).

La moyenne harmonique est adaptée dans d'autres contextes. Elle est très peu sensible à la présence exceptionnelle d'une valeur très haute dans une liste de nombres. Par exemple, la moyenne harmonique des nombres $3$, $4$, $58$ et $2$ est environ $3,6$ (alors que la moyenne arithmétique vaut $16,75$.


Preuve sans mots no. 2:



Soient $x$ et $y$ deux réels. On a l'identité \[ 4xy = (x+y)^2-(x-y)^2.\]

Commentaires:

Cette égalité permet aussi de démontrer l'inégalité arithmético-géométrique, à savoir, si $x$ et $y$ sont positifs: \[ \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} \] avec égalité si et seulement si $x=y$.

En effet, la précédente égalité donne \[ xy = \frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4} \leq \frac{(x+y)^2}{4} \] avec égalité ssi $x-y=0$. On passe alors à la racine carrée ce qui donne l'inégalité arithmético-géométrique.

L'égalité $4xy = (x+y)^2-(x-y)^2$ peut bien sûr également être déduite de l'identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ en remplaçant $a$ et $b$ par $(x+y)$ et $(x-y)$.


Preuve sans mots no. 1:



Soient $x$ et $y$ deux réels. On a l'identité \[ x^2-y^2=(x+y)(x-y).\]